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大家好！本文和大家分享一道2020年高考數(shù)學(xué)真題。這道題是2020年新高考一卷數(shù)學(xué)的第18題，也就是第2道解答題。本題是一道數(shù)列的創(chuàng)新題，考查了等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等知識(shí)。很多學(xué)生連第二問的題意都沒有讀懂。

先看第一小問：求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

根據(jù)題意，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，要求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，就需要求出首項(xiàng)a1和公比q。

由于a2+a4=20，a3=8，所以a1q+a1q^3=20，a1q^2=8，這樣就得到了一個(gè)關(guān)于a1和q的方程組。將兩個(gè)方程一比，消去a1，得到關(guān)于q的方程，從而解出q的值。需要注意的是，q＞1，所以小于1的值需要舍去。然后再求出首項(xiàng)a1，從而求出其通項(xiàng)公式。

另外，我們還可以利用an=amq^(n-m)這個(gè)形式來處理。

不管哪種處理方法，解題思路其實(shí)都是一樣的，也就是先算出a1和q，再求通項(xiàng)公式。

再看第二小問：求數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)和S100。

這一問的難點(diǎn)是讀懂?dāng)?shù)列{bn}的定義，很多學(xué)生沒有讀懂定義，從而導(dǎo)致不知從何下手。

我們先來看數(shù)列{bn}的定義。bm表示數(shù)列{an}在(0,m]中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，也就是說b1就是{an}在(0,1]中的個(gè)數(shù)，而an=2^n，那么顯然an在(0,1]中沒有項(xiàng)，即b1=0。同理，b2表示{an}在(0,2]中的個(gè)數(shù)，此時(shí)a1=2剛好滿足，所以b2=1；b3表示{an}在(0,3]中的個(gè)數(shù)，滿足條件的an只有a1=2，所以b3=1；b4表示{an}在(0,4]中的個(gè)數(shù)求，而滿足條件的an有a1=2和a2=4兩個(gè)，所以b4=2。

以此類推，由于an=2^n是2的正整數(shù)指數(shù)冪，所以當(dāng)m=2^k時(shí)，bm=k，而當(dāng)2^(k-1)≤m＜2^k時(shí)，bm=k-1。也就是說，在大于等于2^(k-1)到小于2^k這2^k-2^(k-1)項(xiàng)，bm的值相等，且都等于k-1。

所以當(dāng)k=1時(shí)，有b1=0；

當(dāng)k=2時(shí)，b2=b3=1，共2個(gè)1；

當(dāng)k=3時(shí)，b4=b5=...=b7=2，共4個(gè)2；

當(dāng)k=4時(shí)，b8=b9=...=b15=3，共8個(gè)3；

當(dāng)k=5時(shí)，b16=b17=...=b31=4，共16個(gè)4；

當(dāng)k=6時(shí)，b32=b33=...=b63=5，共32個(gè)5；

當(dāng)k=7時(shí)，b64=b65=...=b100=6，共37個(gè)6。

然后，將這些數(shù)求和即得到S100的值。

第二小問如果把數(shù)列{bn}的讀懂了，做起來的難度實(shí)際上并不大，你覺得呢？